1. $a+b+c+d=3$ байх сөрөг биш $a,b,c,d$ тоонуудын хувьд
\[\dfrac{ab}{3b+c+d+3}+\dfrac{bc}{3c+d+a+3}+\dfrac{cd}{3d+a+b+3}+\dfrac{da}{3a+b+c+3}\le\dfrac{1}{3}\]
тэнцэтгэл биш батал.

2. $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр орших $X$ цэгийн хувьд $BX$ шулуун $ABC$ гурвалж\-ныг багтаасан $\omega$ тойргийг $D$ цэгт дахин огтолно. $AXD$, $CXD$ гурвалжнуудыг багтаасан тойргийн төвүүдийг $O_1$, $O_2$ гэж тэмдэглэе. $DO_1O_2$ гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$ тойргийг $D$ цэгээс ялгаатай $T$ цэгт огтолдол бол $T$ цэг нь $X$ цэгийн сонголтоос хамаарах\-гүй гэдгийг батал.

3. Натурал $n$ тоог хуваадаг бүх анхны тоонуудын үржвэрийг $\mathrm{rad}(n)$ гэж тэмдэглэдэг. $\mathrm{rad}(a^2+1)=\mathrm{rad}(b^2+1)$ байх ялгаатай натурал $a,b$ тоонуудын хос төгсгөлгүй олон олдохыг батал.

4. Эерэг бодит тоон дээр тодорхойлогдсон, сөрөг бодит тоон утгатай дараах чанартай бүх функцийг ол.

1. [а)] Дурын эерэг $x,y$ тоонуудын хувьд
   \[f(x+y)=f(-f(x))+f(-f(y))\]
   байна.
   \item[б)] Дурын натурал $n$ тооны хувьд $f(2^n)=-2^n$ байна.
   

5. Тойрог дээр зөв 2013-өнцөгтийн орой болох 2013 ширхэг цэгийг тэмдэглэжээ. Тэмдэглэсэн цэгүүд дээр $1,2,3,4,5,6$ цифрүүдийг, зэргэлдээ орой дээр бичигдсэн цифрүү\-дийн зөрүү нь 1-ээс хэтрэхгүй эсвэл 5-тай тэнцүү байхаар хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

6. $\omega$ тойрогийн гадна орших $X$ цэгээс уг тойрогт $XY$, $XZ$ шүргэгчүүд татжээ. $YZ$ хэрчмийн дундаж $M$ цэг нь $\omega$ тойрогт багтсан $ABC$ гурвалжны $AC$ тал дээр оршиж байв. $AB$, $BC$ шулуунуудын хувьд $M$ цэгтэй тэгш хэмтэй цэгүүд нь $P$, $Q$ бол $X, P, B, Q$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.