1. Самбарт тус бүр нь $n$-ээс бага $n$ ширхэг натурал тоог бичсэн байв. Нийлбэр нь $n$-д хуваагддаг хэдэн тоог самбараас цор ганц аргаар сонгож болдог бол самбарт бичигдсэн бүх тоо ижил гэдгийг батал.

2. Хурц өнцөгт $ABC$ гурвалжны $AD$, $CE$ өндрүүд $H$ цэгт огтлолцдог байв. Гурвалж\-ны $AB$, $BC$ талуудын дундаж цэгүүд харгалзан $M$, $N$ бөгөөд $MN$, $NH$ цацрагууд $ABC$ гурвалжныг багтаасан $\omega$ тойргийг харгалзан $K$, $L$ цэгүүдээр огтолно. $EHK$, $DHL$ гурвалжныг багтаасан тойргууд $\omega$ тойргийг дахин $P$, $Q$ цэгт огтолцдог бол $D$, $E$, $P$, $Q$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.

3. $n\times n$ хэмжээтэй хүснэгтийн зарим нүдийг хар өнгөөр, үлдсэн нүднүүдийг цагаан өнгөөр будсан бөгөөд хар нүд бүрийн хөрш цагаан өнгийн нүдний тоо тэгш байв. Хар нүд бүрийн хөрш улаан өнгийн нүдний тоо хөрш хөх өнгийн нүдний тоотой тэнцүү байхаар хүснэгтийн бүх цагаан нүдийг улаан, хөх өнгөөр будаж болохыг батал. (Ерөнхий талтай нүднүүдийг хөрш гэж тооцно.)

4. Анхны $p$ тоог $4$-т хуваахад $1$ үлдэгдэл өгдөг байв. $2^n+n^2$ нийлбэр нь $p$-д хуваагддаг натурал $n$ тоо төгсгөлгүй олон олдоно гэж батал.

5. Хэрэв $x$, $y$, $z$ нь $x+y+z+xyz=4$ байдаг эерэг тоонууд бол
\[\dfrac{x}{\sqrt{2y+3z}}+\dfrac{y}{\sqrt{2z+3x}}+\dfrac{z}{\sqrt{2x+3y}}\ge\dfrac{1}{\sqrt5}(x+y+z)\]
тэнцэтгэл биш биелнэ гэж батал.

6. $O$ цэгт төвтэй тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ талуудын дундаж цэгүүд харгалзан $K$, $L$, $M$, $N$ байг. $KM$, $LN$ шулуунууд $O$ цэгийг дайрдаггүйг бөгөөд хоорондоо $E$ цэгт огтлолцоно. $KM$ хэрчим дээр $P$ цэгийг $\angle KOE=\angle MOP$ байхаар, $LN$ хэрчим дээр $Q$ цэгийг $\angle LOE=\angle NOQ$ байхаар тус тус сонгон авчээ. $O$, $P$, $Q$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршихыг батал.