1. Дурын бодит $a$, $b$, $c$ тоонуудын хувьд
\[
(a-b)f(a+b) + (b-c)f(b+c) + (c-a)f(c+a)=0
\]
байх бүх $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ функцийг ол.

2. Элдэв талт $ABC$ гурвалжныг багтаасан $\omega$ тойргийн $A$, $C$ цэгт татсан шүргэгчүүд $P$ цэгт огтлолцдог бөгөөд $BB'$ нь $\omega$ тойргийн диаметр байв. $BP$ шулуун нь $\omega$ тойргийг $B$ цэгээс ялгаатай $D$ цэгт огтолно. $\angle ABC$ өнцөгийн гадаад биссектрис нь $B'A$, $B'C$ шулуунуудтай харгалзан $A'$, $C'$ цэгт огтлолцдог бол $A'$, $B'$, $C'$, $D$ цэгүүд нэг тойрог дээр оршихыг батал.

3. $(a_1^{2017} +a_2)(a_2^{2017} +a_3)\dots (a_{2016}^{2017}+a_{2017})(a_{2017}^{2017} +a_1)$ үржвэр нь ямар нэг анхны тооны

1. [а)] $2017\cdot 2018$ зэрэгт,
   \item[б)] $2017\cdot 2023$ зэрэгт байх натурал $a_1, a_2, \dots, a_{2017}$ тоонууд олдох уу?
   

4. Олимпиадад $300$ сурагч оролцсон бөгөөд аль ч хоёр нь бие биеэ таньдаг 3 сурагч олддоггүй байв. Олимпиадад оролцсон сурагч бүрийн танилын тоо $n$-ээс хэтрэхгүй бөгөөд $1 \le m \le n$ байх $m$ бүрийн хувьд яг $m$ танилтай ядаж нэг сурагч олддог байжээ. $n$-ийн байж болох хамгийн их утгыг ол.

5. $a$, $b$, $c$ нь $abc = 1$ байх эерэг тоонууд бол
\begin{equation*}
\frac{1}{a^{4} + 4b^{2} + 7} + \frac{1}{b^{4} + 4c^{2} + 7} + \frac{1}{c^{4} + 4a^{2} + 7} \le \frac{1}{4}
\end{equation*}
тэнцэтгэл биш биелэхийг батал.

6. $ABC$ гурвалжинд багтсан тойр\-гийн төв $I$ байв. Гурвалжны $BC$ тал дээр $D$ цэгийг, $BC$ талын үргэлжлэл дээр $C$ оройгоос цаана $E$ цэгийг $\dfrac{BD}{DC} =\dfrac{BE}{EC}$ байхаар сонгон авчээ. $D$ цэгээс $IE$ шулуун руу буулгасан перпендикуляр нь $DH$ бол $\angle AHE = \angle IDE$ байхыг батал.