1. Нийлбэр нь $0$ байдаг дурын бодит $x$, $y$, $z$ тоонуудын хувьд
\begin{equation*}
\left(\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}\right)^{3} \ge K x^{2}y^{2} z^{2}
\end{equation*}
тэнцэтгэл биш биелдэг байх $K$-ийн хамгийн их утгыг ол.

2. $\omega$ тойргийн гадна орших $A$ цэгээс уг тойрогт $AB$, $AC$ шүргэгчүүд татаад $AC$ хэрчмийн үргэлжлэл дээр $C$ цэгээс цаана $P$ цэгийг сонгон авчээ. $ABP$ гурвалжныг багтаасан тойрог $\omega$ тойрогтой $B$ цэгээс ялгаатай $E$ цэгт огтлолцох ба $BP$ хэрчим дээр $\angle PEQ=2\angle APB$ байхаар $Q$ цэг авав. $CQ\perp BP$ гэж батал.

3. Натурал тоон $\left\{a_{n}\right\}_{n \ge 1}$ дараалал ба анхны тоон $\left\{p_{n}\right\}_{n \ge 1}$ дарааллын хувьд $n \ge 1$ үед
\[p_{n} \mid a_{n} \quad\text{бөгөөд}\quad a_{n+1} = \frac{a_{n}}{p_{n}} \left(p_{n}^{1009} - 1\right)\]
гэсэн нөхцөлүүд биелдэг байв. Энэ дараалалд $2018$-д хуваагддаг $a_{n}$ гишүүн олдохыг батал.

4. $ABC$ гурвалжныг багтаасан $\omega$ тойргийн $A$ оройг агуулдаггүй $BC$ нум дээр дунд\-жаас нь ялгаатай $D$ цэгийг сонгож авчээ. $D$ цэгт татсан $\omega$ тойргийн шүргэгч нь $BC$ шулууныг $K$ цэгт огтолно. $K$ цэгийг дайрсан шулуун шулуун $\omega$ тойргийг $E$, $F$ цэгүүдээр, $AC$, $AD$, $AB$ хэрчмүүдийг харгалзан $N$, $M$, $L$ цэгүүдээр огтолдог байв. $NE = LF$ бол $ML = MN$ гэж батал.

5. Бүхэл коэффициенттэй $f(x)$, $g(x)$ олон гишүүнтүүд өгөгджээ. Ямар ч натурал $n$ тооны хувьд $f(n)$, $g(n)$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагч $a_{n}$ нь $2018$-аас бага байв. Дурын $n$-ийн хувьд $a_{n+k} = a_{n}$ байх тогтмол $k$ тоо олдохыг, өөрөөр хэлбэл энэ дараалал үетэй гэдгийг батал.

6. Бүхэл тоонуудын $(a, b, c, d)$ дөрвөлийг $ad - bc = 2018$ байвал сайн дөрвөл гэе. Сайн дөрвөлүүдэд дараах 3 төрлийн үйлдлийг хийж болно. Эдгээр үйлдэлүүдийн тусламжтайгаар бие биедээ шилждэггүй сайн дөрвөлүүдийн олонлог хамгийн олондоо $3030$ элементтэй гэж харуул.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
(a, b, c, d) &\longrightarrow (-c, -d, a, b)\\
(a, b, c, d) &\longrightarrow (a, b, c + a, d + b)\\
(a, b, c, d) &\longrightarrow (a, b, c - a, d - b)
\end{aligned}
\end{equation*}