1. Шатрын тэмцээнд $10$ тамирчин оролцжээ. Тэд бусадтайгаа зөвхөн нэг нэг өрөг тоглосон ба дүн гарахад ижил оноотой шатарчид байсангүй. Харин эхний хоёр байр эзэлсэн шатарчид нэг ч хожигдоогүй, III байр эзэлсэн шатарчин эхний хоёрын авсан онооны нийлбэрээс $10$ оноо дутуу, IV байр эзэлсэн шатарчин сүүлчийн дөрвөн байр эзэлсэн шатарчдын авсан онооны нийлбэртэй тэнцүү оноо авсан бол VI, VII байр эзэлсэн шатарчдын хэн нь хожсон бэ? Сүүлийн $6$ шатарчны авсан онооны нийлбэрийг ол. Энд хожсон тамирчин $1$ оноо, хожигдсон тамирчин $0$ оноо, тэнцсэн тамирчин $0.5$ оноо авна.

2. $\sqrt{2+x-2\sqrt{x+1}}+\sqrt{17+x-8\sqrt{x+1}}=3$ тэгшитгэлийн бүх бодит шийдийг ол.

3. $\dfrac{8}{3(\cos^2x+2\cos x+4)}-\dfrac{2}{\cos^2x+4\cos^2\frac{x}{2}}+\dfrac{1}{12\cos^4\frac{x}{2}}=0$ тэгшитгэлийг бод.

4. Олимпиад зохион байгуулах хороо 11 гишүүнтэй бөгөөд олимпиадын материалыг нууцын авдарт хадгалдаг байв. Авдрыг ямар ч 5 гишүүн онгойлгож чадахгүй бөгөөд аль ч 6 гишүүн нь онгойлгодог байхын тулд авдар хэдэн цоожтой байх ёстой ба гишүүн бүрд хэдэн түлхүүр өгвөл зохих вэ?

5. $m$ натурал тоо бол $x^2+y^2+2xy-mx-my-m-1=0$ тэгшитгэлийн бүхэл шийдүүдийн дотор $m$ ширхэг натурал тоон шийд байхыг үзүүл.

6. Шулуун дугуй цилиндрийн дээд суурийн $M$ цэгээс доод суурийн $N$ цэг рүү буулгасан $MN$ перпендикулярыг бэхлэв. Дээд суурийн тойргийн дурын цэгийг доод суурийн тойргийн цэгтэй холбогч хэрчмүүдийн дотроос $MN$ хэрчмийг огтлогч бүх хэрчмүүдийн дундаж цэгүүдийн геометр байрыг ол.