1. Төгс тоо натурал тооны квадрат болж чадахгүйг батал. Энд өөрийн бүх жинхэнэ хуваагчдын нийлбэртэй тэнцүү тоог төгс тоо гэнэ. Жишээ: $6=1+2+3$ төгс тоо болно.

2. Шулуун дээр $B$ нь $A$ ба $C$-ийн хооронд орших цэгүүд өгөгдөв. Энэ шулууны 1 талд $|AB|$, $|BC|$, $|AC|$-ээр диаметрээ хийсэн $K_1$, $K_2$, $K$ хагас тойргуудыг татав. $B$ цэгийг дайрсан $AC$-д перпендикуляр шулуун $K$ тойргийг $D$ цэгт огтолно. Тэгвэл $K$ тойргийг $D$ цэгт шүргэсэн $\ell_1$ шүргэгч нь $K_1$ ба $K_2$-ийн ерөнхий шүргэгч $\ell_2$-тэй параллел болохыг батал.

3. $8\times8$ квадратын 1 диагоналийн 2 үзүүр дээр орших $1\times1$ квадратуудыг салгаж авав. Үлдсэн хэсгийг $1\times 2$ тэгш өнцөгтөөр бүрхэж болох уу?

4. Дурын бодит тоо $x$, $y$-ийн хувьд $P(x,y)>0$ байх ба ямар ч эерэг бодит $\varepsilon > 0$ тоо авахад $P(x,y)<\varepsilon$ байхаар бодит тоо $x$, $y$ олддог тийм бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт $P(x,y)$ олдох уу?

5. Тус бүр нь $2n$-ээс ихгүй $n+1$ ширхэг натурал тоо $a_1,\dots,a_{n+1}$ өгчээ. Эдгээрийн аль нэг нь нөгөөгөө хуваана гэдгийг батал.

6. $a$, $b>0$ гэе. $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ гэсэн хоёр дарааллыг дараах рекуррент аргаар өгчээ. $a_1=a$, $b_1=b$ ба дурын $n\ge1$ дугаарын хувьд:
\[a_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}{2},\ b_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n^2+b_n^2}{2}}\]
Тэгвэл дурын $n$-ийн хувьд $|b_{n+1}-a_{n+1}|\le\dfrac{|b-a|}{2^n}$ болохыг батал.