1. $\log_{x-1}(x+1)>\log_{x^2-1}(x+1)$ тэнцэтгэл бишийг бод.

2. $a+b+c=2$ бол $a^{2^n}+b^{2^n}+c^{2^n}>\dfrac{1}{2^{2^n}-1}$ тэнцэтгэл бишийг батал. Энд $n$-натурал тоо ба $a$, $b$, $c$-нь бодит тоо.

3. $P$ цэгт шүргэлцсэн 2 тойрог өгчээ. Нэг тойргийг $A$ цэгээр шүргэсэн шулуун нөгөө тойргийг $B$, $C$ цэгүүдээр огтлов. $PA$ шулуун $PB$, $PC$ шулуунуудын хоорондох өнцгийг таллан хуваахыг батал.

4. Рационал тоон олонлог $\mathbb Q$ дээр тодорхойлогдсон $f(x)$ функц дурын $x$, $y\in\mathbb Q$-ийн хувьд
\[f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1\]
ба $f(1)=2$ бол $f(x)$ функцийг ол.

5. $a_0,a_1,\dots,a_n$ дараалал $a_0=\dfrac12$ ба $0 \le k \le n-1$ хувьд $a_{k+1}=a_k+\dfrac{1}{n}a_k^2$ гэсэн рекуррент томьёогоор өгөгдсөн бол $1-\dfrac1n< a_n<1$ болохыг батал.

6. $n > 2$ хайрцагт харгалзан $b_1$, $\dots$, $b_n$ ширхэг ном байв. Минут бүрд тэдгээрийн $n-2$-д нь нэг нэг ном нэмнэ. $n$, $b_1$, $\dots$, $b_n$ тоонууд ямар нөхцөл хангаж байвал хэзээ нэг цагт бүх хайрцаг тэнцүү номтой болох боломжтой вэ?