1. Натурал $n$ тоо ба бүхэл $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ тоонуудын хувьд
\[a_0+a_1\sqrt[4]{4n+3}+a_1\sqrt[4]{(4n+3)^2}+a_3\sqrt[4]{(4n+3)^3}=0\]
тэнцэл биелж байвал $a_0=a_1=a_2=a_3=0$ болохыг батал.

2. $k>2$, $m>1$ байх $k$, $m$ натурал тоонуудын хувьд аль ч $k$ ширхэг нь арифметикийн прогресс үүсгэдэг $mk$ ширхэг бодит тоо өгөгдсөн бол эдгээр тоонууд тэнцүү болохыг батал.

3. Аль ч гурав нь нэг шулуун дээр үл орших хавтгайн $6$ цэгийг хос хосоор нь хэрчмээр холбожээ. Эдгээр хэрчим бүрийг хоёр өнгийн зөвхөн нэгээр буджээ. Өгсөн цэгүүд дээр оройтой, ижил өнгийн талуудтай гурвалжин дор хаяж 2 олдохыг үзүүл.

4. $M$ нь тогтмол тоо агуулаагүй бөгөөд үл хураагдах $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ хэлбэртэй функцэн элементүүд бүхий төгсгөлөг олонлог болно. Энд $a$, $b$, $c$, $d$ бүхэл. Дараах нөхцөлүүдийг хангах бүх $M$ олонлогийг ол.

1. [a)] $f(x)\in M$ бол $\dfrac{1}{f(x)}\in M$;
   \item[б)] $f(x),g(x)\in M$ бол $f(g(x))\in M$;
   \item[в)] $f(x),g(x)\in M$ бол $f(g(x))=g(f(x))$.
   

5. $n\ge 3$ хүмүүс бие биетэйгээ гар барилцжээ. Гар барилтын тоо $1+\left[\dfrac{n^2}{4}\right]$-ээс багагүй бол хоорондоо гар барьсан 3 хүн олдохыг үзүүл.

6. $1\times1$ талбайтай квадрат дээр (дотор ба хүрээн дээр) 1975 цэг тэмдэглэжээ.
\[A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\]
тахир шугамын урт $\dfrac{9}{16}$-өөс үл хэтрэх $8$ цэг олдохыг үзүүл.

7. Зэргэлдээ хоёрын хоорондох зай нь $a$ ба $b$ байх 3 параллел шулуун дээр оройтой бөгөөд тэнцүү талуудын хоорондох өнцөг нь $\alpha$ байх адил хажуут гурвалжны талбайг ол.

8. $\left[\dfrac{2x-1}{3}\right]=\left[\dfrac{x+1}{2}\right]$ тэгшитгэлийг бод.