1. Хос хосоороо огтлолцох боловч аль ч гурав нь нэг цэгт үл огтлолцох $n$ шулуунаар хавтгай хэдэн хэсэгт хуваагдах вэ?

2. $n\times n$ хүснэгтэд нийт нийлбэр нь эерэг тоо байхаар $1,-1$ тоонуудыг бичээд $i$-р мөрийн тоонуудын нийлбэрийг $a_i$, $j$-р баганын тоонуудын нийлбэрийг $b_j$ гэе. Дараа нь уг хүснэгтийн нүднүүдэд буй $-1$ ба $1$ тоонуудыг арилгаад $a_ib_j$ хэлбэрийн $n^2$ ширхэг тоог дурын байдлаар байрлуулжээ. Тэгэхэд зүүн дээд булангаас баруун доод булан хүртэлх тоонуудын нийлбэр сөрөг биш байхаар мөрүүдийн байрыг сольж болохыг үзүүл.

3. Хавтгай дүрс яг $n$ ширхэг тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй бол тэдгээр нь нэг цэгт огтлолцох ба уг цэгийг тойруулж $\dfrac{2\pi}{n}$ өнцгөөр эргүүлэхэд дүрс өөртэйгөө давхцахыг батал.

4. $S$ талбайтай $ABC$ гурвалжны дотор дурын $P$ цэг өгөгдсөн бөгөөд гурвалжны оройнууд ба $P$ цэгийг дайрсан шулуунууд гурвалжны талуудтай огтлолцсон цэгүүдийг харгалзан $A_1$, $B_1$, $C_1$-ээр тэмдэглэе.

1. [а)] $\triangle A_1B_1C_1$-ийн талбайг ол.
   \item[б)] $P$ цэг хаана байвал $\triangle A_1B_1C_1$-ийн талбай хамгийн их байх вэ?
   

Санамж: $\dfrac{|AB_1|}{|B_1C|}=\mu$, $\dfrac{|CA_1|}{|A_1B|}=\nu$, $\dfrac{|BC_1|}{|C_1A|}=\kappa$ гэсэн харьцаатай гэж үз.

5. 1977-г $n$ ширхэг зохиомол тоо ба 1 ширхэг анхны тооны нийлбэр хэлбэрээр бичиж болох боловч $n+1$ ширхэг зохиомол тоо болон 1 ширхэг анхны тооны нийлбэр хэлбэрээр бичиж болдоггүй бол $n$ нь хэд байх вэ?

6. Хооронд нь холбоход аль ч 3 хөвч нь 1 цэгт огтлолцохгүй байхаар тойрог дээр $n$ цэг тэмдэглэсэн байв. Эдгээр цэгүүдийг холбогч бүх боломжит хөвчүүдээр дугуй хэчнээн хэсэгт хуваагдах вэ?