1. Гүдгэр 6 өнцөгтийн дотоод өнцгүүд тэнцүү бол
\[S\ge\dfrac{\sqrt3}{2}(a_1a_2+a_3a_4+a_5a_6)\]
болохыг батал. Энд $S$ нь зургаан өнцөгтийн талбай; $a_1,\dots,a_6$ дараалсан талууд болно.

2. $P_1,\dots,P_k$ нь $m+n$-ийг хуваадаг ялгаатай анхны тоонууд бөгөөд эдгээрээс яг $S$ ширхэг нь $n$-ийг хуваадаг бол дараах тэнцэтгэлийг батал.
\[\sum_{\{i_1,\dots,i_j\}}\left(\left[\dfrac{m+n}{P_{i_1}P_{i_2}\dots P_{i_j}}\right]-\left[\dfrac{m}{P_{i_1}P_{i_2}\dots P_{i_j}}\right]-\left[\dfrac{n}{P_{i_1}P_{i_2}\dots P_{i_j}}\right]\right)=2^{k}-2^{s}\]
Энд $\{i_1,\dots,i_j\}$ гэсэн $\{1,\dots,k\}$-ийн бүх хоосон биш дэд олонлогоор нийлбэрчилнэ.

3. Нийлбэр нь $832$ байх ба квадратууд нь геометр прогресс үүсгэх бүх натурал тоон гурвалыг ол.

4. Бодит тоон олонлог дээр тодорхойлогдсон бөгөөд дурын бодит тоо $a,b$-ийн хувьд
\[f(a+b)=\dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)\cdot f(b)}\]
нөхцөлийг хангах бүх тэгш функц $f(x)$-үүдийг ол.

5. $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ нь хос хосоороо ялгаатай бөгөөд $0\le\alpha_i\le\pi$, $i=1,\dots, n$ байх өнцгүүд, $n$ сондгой натурал тоо бол
\[(\sin\alpha_1+\dots+\sin\alpha_n)^2+(\cos\alpha_1+\dots+\cos\alpha_n)^2\ge 1\]
тэнцэтгэл бишийг батал.

6. Зөв гурвалжин дотор дурын $O$ цэг авчээ. Энэ цэгээс оройнууд хүртэлх зайнуудын нийлбэр, энэ цэгээс талууд хүртэлх зайнуудын нийлбэрийг 2 дахин авснаас багагүй гэдгийг батал. Хэдийд тэнцэл биелэх вэ?