1. $ABC$ гурвалжны өндрүүд $O$ цэгт огтлолцоно. $ABC$, $OBC$, $OAC$, $OAB$ гурвалж\-нуу\-дын талбай харгалзан $S$, $S_{A}$, $S_{B}$, $S_{C}$, эдгээр гурвалжинг багтаасан тойргуудын радиус харгалзан $R$, $R_{A}$, $R_{B}$, $R_{C}$ бол
\[S_AR_A+S_BR_B+S_CR_C=S\cdot R\]
болохыг батал.

2. Зургаатын тооллын системд тэгээс ялгаатай цифрүүдээр бичигдэх $n$ оронтой бүх тооны нийлбэрийг ол.

3. Аль ч гурав нь нэг шулуун дээр үл орших $n$ цэг ($n\ge 6$) хавтгай дээр өгчээ. Эдгээр цэгт оройтой бөгөөд аль нэг өнцөг нь $120^\circ$-аас багагүй байх гурвалжин оршин байхыг батал. Ийм гурвалжнуудын тоо хамгийн цөөндөө хэд байх вэ?

4. \[\left\{
\begin{array}{l}
x_1+x_2+\dots+x_n=k,\quad k>0\\
\dfrac{k+x_1}{x_1}=\dfrac{k+x_1+x_2}{x_2}\\
\dfrac{k+x_1+x_2}{x_2}=\dfrac{k+x_1+x_2+x_3}{x_3}\\
\qquad\qquad\vdots\\
\dfrac{k+x_1+\dots+x_{n-1}}{x_{n-1}}=\dfrac{k+x_1+\dots+x_n}{x_n}
\end{array}
\right.
\]
системийн эерэг шийдийг ол.

5. Дугуй дотор $A$ цэг өгчээ. $\angle XAY=90^\circ$ байх бүх боломжит хөвч $XY$-ыг татав. $M$ нь $XY$ шулууны хувьд $A$-тай тэгш хэмтэй орших цэг бол тийм бүх $M$ цэгүүдийн геометр байрыг ол.

6. Өөрийнхөө бүх цифрүүдийн, мөн цифрүүдийг хоёр хоёроор, гурав гурваар гэх мэтчилэн авсан үржвэрүүдийн нийлбэр бүх цифрүүдийн үржвэртэй тэнцүү байх 15 орон\-той бүх тоонуудыг ол.