1. $x^2+y^2+z^2=1980$ тэгшитгэлийн бүх натурал шийдийг ол.

2. $a_1,\dots,a_n$ бодит тоонуудаас зохиосон
\[|a_1+\dots+a_k-a_{k+1}-\dots-a_n|,\quad (k=1,2,\dots,n)\]
тоонуудын аль нэг нь $\max |a_i|$-ээс үл хэтэрнэ гэж батал.

3. Гурвалжны хамгийн их өнцөг нь $90^\circ$-аас үл хэтрэх бөгөөд $r$ ба $R$ нь түүнд багтсан ба багтаасан тойргийн радиусууд, $m$ нь гурвалжны хамгийн их өндөр бол $r+R\leqslant m$ болохыг батал.

4. $n,a,b$ нь натурал тоонууд бөгөөд $a>b$, $n>b$, $a^n+b^n=c^n$ бол $c$ нь бүхэл тоо байж чадахгүйг батал.

5. $\sin x>0$, $n\in\mathbb N$ бол $n\sin^{n+1}x-(n+1)\sin^nx+1=0$ тэгшитгэлийг бод.

6. $x_1,\dots,x_n$ тоонууд нь $1$ ба $-1$-ийн аль нэгтэй тэнцүү ба
\[\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1}x_{i+2}x_{i+3}=0,\ (x_{n+k}=x_k)\]
бол $n$ нь $4$-д хуваагдахыг батал.