1. $1985$ ширхэг натурал тооноос тогтох $M$ олонлог өгчээ. $M$ олонлогийн ямар ч тоо нь $a+21$-ээс их анхны тоонд үл хуваагдана. Тэгвэл

1. $a\le 9$ бол $M$ олонлогийн ямар нэг $2$ элементийн геометр дундаж нь бүхэл тоо байхыг батал.
   


2. $a\ge 10$ бол аль ч хоёр элементийн нь геометр дундаж бүхэл тоо биш байхаар тийм $M$ олонлог олдохыг үзүүл.
   

2. Дараах тэнцэтгэлийг батал.
\[\sqrt{3}\tg^5 20^\circ-9\tg^4 20^\circ+30\tg^2 20^\circ+9\sqrt3\tg20^\circ=9+6\sqrt3\tg^3 20^\circ\]

3. $D_1BD_{n+1}$ гурвалжны $D_1D_{n+1}$ тал дээр $D_2; D_3;\dots;D_n$ цэгүүд дараалан өгөгджээ. $D_1BD_{n+1}$, $D_kBD_{k+1}$ гурвалжнуудад багтсан тойргийн радиусуудыг харгалзан $r$, $r_k$; тэдгээрийн $B$ өнцөгт гадаад багтсан тойргийн радиусыг $R$, $R_k$, ($k=1,2,\dots,n$) гэж тэмдэглэвэл
\[\dfrac{r_1\cdots r_n}{R_1\cdots R_n}=\dfrac{r}{R}\]
байхыг батал.

4. $A^2$ нь дараалсан хоёр тооны кубуудын ялгавар бол $A$ нь дараалсан хоёр тооны квадратуудын нийлбэр гэж батал.

5. \[\sqrt{\cos2x+\sin x-\cos x}+\sqrt[4]{\pi^2-x}+\sqrt{\pi+x}>\pi\]
тэнцэтгэл бишийг бод.

6. Хоёр гурвалжны талууд $a_1,a_2,a_3$; $b_1,b_2,b_3$ бөгөөд дурын сондгой $n$-ийн хувьд
\[a_1^n+a_2^n+a_3^n=b_1^n+b_2^n+b_3^n\]
бол энэ хоёр гурвалжин тэнцүү гэж батал.