2021-2022 оны 1-р шат, Ахлах ангилал, F (11-12) ангилал
1.
$a, b$ нь нийлбэр нь 20 байх натурал тоонууд байг. $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ нийлбэрийн хамгийн их утга $\dfrac{p}{q}$ үл хураагдах бутархай бол $p+q$-ийн утгыг ол.
Хариу: 39
2.
$a$, $b$ эерэг бодит тоонууд байг. Хэрэв $\dfrac{1}{2}(58-x^2)$ функцийн $[a, b]$ завсар дахь хамгийн бага утга $4a$, хамгийн их утга нь $4b$ бол $a+b$-ийг ол.
Хариу: 8
3.
Аль ч гурван цэг нь нэг шулуун дээр үл орших $2021$ цэг хавтгайд өгчээ. Тэдгээрийг хэсэг бүр дор хаяж 3 цэгтэй байхаар 61 хэсэгт хуваав. Нэг хэсэгт орших 3 цэг бүрийг хэрчмээр холбож гурвалжин үүсгэх бол хамгийн цөөндөө хэчнээн гурвалжин үүсгэх вэ?
Хариу: 337040
4.
Аливаа $n\geqslant 1$ бүрийн хувьд $f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}$ нөхцөлийг хангадаг $f_1, f_2, f_3,\ldots$ натурал тоон дарааллын хувьд $f_m=2021$ ба $m$ хамгийн их утгатай байв. $f_{m-1}$ хамгийн ихдээ хэдтэй тэнцүү байх вэ?
Хариу: 1249
5.
Аль нь ч тэгтэй тэнцдэггүй $a,b,c$ бүхэл тоонууд
$$3abc=a+b+c+6$$
нөхцөлийг хангадаг. Ийм бүх эрэмбэлэгдсэн $(a, b, c)$ гуравтын тоог ол.
$$3abc=a+b+c+6$$
нөхцөлийг хангадаг. Ийм бүх эрэмбэлэгдсэн $(a, b, c)$ гуравтын тоог ол.
Хариу: 6
6.
$O_1$ цэгт төвтэй $\omega_1$, $O_2$ цэгт төвтэй $\omega_2$ тойргууд гадаад байдлаар шүргэлцэнэ. $\omega_1$ ба $\omega_2$ тойргуудын гадаад ерөнхий шүргэгч нь харгалзан $T_1$ ба $T_2$ цэгт шүргэнэ. $O_1O_2T_2T_1$ дөрвөн өнцөгтийн талбай 1088 см$^2$ ба $\omega_1$ тойргийн радиус 64 см бол $\omega_2$ тойргийн радиусыг ол.
Хариу: 4
7.
$ABCD$ тэгш өнцөгтийн $AD$ талын дундаж $M$, $BC$ талын дундаж $N$ байв. $CD$ цацраг дээр $P$ цэгийг авсан ба $PM$ шулуун $AC$ диагоналтай $Q$ цэгт, $PN$ шулуун $AC$ диагоналтай $R$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $PQ=QC$, $PR=18$, $RN=6$ байсан бол $QN$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 12
8.
$9^{2020}+9^{2020^2}+9^{2020^3}+\dots+9^{2020^{2021}}$ нийлбэрийг 100-д хуваахад гарах үлдэгдлийг ол.
Хариу: 21
9.
Дурын бодит $x, y$-ийн хувьд $f(x^2-2y)\geq f(x^2-3y)$ байх $f$ функц өгөгдсөн байг. Хэрэв $f(2021)=58$ бол $f(2022)$-ийн утгыг ол.
Хариу: 58
10.
$a$, $b$, $c$ нь
$a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$
ба $abc =1$ байх $1$-ээс ялгаатай бодит тоонууд бол $$\dfrac{2}{1-a} + \dfrac{2}{1-b} + \dfrac{2}{1-c}$$ илэрхийллийн утгыг ол.
$a^2+b^2+c^2 - \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} \right) = 8(a+b+c) - 8 (ab+bc+ca)$
ба $abc =1$ байх $1$-ээс ялгаатай бодит тоонууд бол $$\dfrac{2}{1-a} + \dfrac{2}{1-b} + \dfrac{2}{1-c}$$ илэрхийллийн утгыг ол.
Хариу: 3
11.
Нэгэн улсад тус бүр нь бүхэл төгрөгөөр үнэлэгдэх 3 төрлийн цахим зоостой байг. Болд, Мишээл, Нямаа гуравт эдгээр цахим зоосноос дор хаяж нэг нэг байгаа. Болдод 28 төгрөгөөр үнэлэгдэх яг дөрвөн цахим зоос, Мишээлд 21 төгрөгөөр үнэлэгдэх яг таван цахим зоос, Нямаад яг гурван цахим зоос байгаа. Нямаад байгаа цахим зоос хэдэн төгрөг болох вэ?
Хариу: 17
12.
Дөрвөн өөр өнгийн 4 хос бээлийнээс дөрвөн хүн баруун болон зүүн гарын бээлий нь ялгаатай өнгөтэй байхаар 2, 2 бээлий сонгох боломжийн тоог ол.
Хариу: 216
13.
Нямаа 25 ижил хэмжээтэй квадрат хэлбэрийн нүднээс тогтох $5\times 5$ шоколадны төвд байрлах нүдийг дараах дүрмийн дагуу авч иднэ. Тэрээр хуваалт хийхдээ зөвхөн босоо эсвэл зөвхөн хэвтээ ховилын дагуу хугалах бөгөөд төвийн нүдийг агуулсан хэсгийг авч үлдэнэ. Нямаа төвийн нүдийг хэчнээн янзаар авч идэж чадах вэ?
Хариу: 6384
14.
2 нэгж талтай $ABCDEF$ зөв зургаан өнцөгт өгөв. $A$ дээр төвтэй $3$ радиустай тойрог татав. $BCDE$ дөрвөн өнцөгтийн, тойргийн гаднах мужийн талбай $a\sqrt{b}-\dfrac{c}{d}\pi$ бол $\dfrac{ab}{cd}$ харьцааг ол.
Хариу: 2
15.
$ABCD$ трапецийн хувьд $AB=BC=CD$, $\angle B=120^\circ$ нөхцөлүүд биелдэг. Трапецийг багтаасан тойргийн $BC$ нум дээр ($A$ болон $D$ оройнуудыг агуулаагүй нум) $P$ цэгийг $2PB+PD=15\sqrt{3}$ байхаар авав. Тэгвэл $PA$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 15
16.
$n$ натурал тооны хувьд $f(n)=\lfloor\log_2 1\rfloor+\lfloor\log_2 2\rfloor+\dots+\lfloor\log_2 n\rfloor$ байг. $f(n)$ тоо $n$-д хуваагдаж байх натурал $n<2021$-ийн хамгийн их утгыг ол. Энд $\lfloor x\rfloor$-ээр $x$ бодит тооноос хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоог тэмдэглэв.
Хариу: 1013