2021-2022 оны 1-р шат, Дунд 2 ангилал, E (9-10) ангилал
1.
$ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийн суурь $D$, $AB$ талын дундаж $M$. Хэрэв $AB=2CD$ ба $\angle AMC=36^\circ$ бол $\angle ABC$-г ол.
Хариу: 24
2.
$a$, $b$ эерэг бодит тоонууд байг. Хэрэв $\dfrac{1}{2}(13-x^2)$ функцийн $[a, b]$ завсар дах хамгийн бага утга $2a$, хамгийн их утга нь $2b$ бол $a+b$-ийг ол.
Хариу: 4
3.
$2021^{2020}$ тооны 3-тын тооллын систем дэх бичлэгийн сүүлийн 3 цифрийг ол.
Хариу: 111
4.
Тус бүр нь 20 ширхэг байх алим, гадил, жүрж жимсийг хоёр хүнд тэнцүү тоотойгоор хэдэн янзаар хувааж өгч болох вэ?
Хариу: 331
5.
$ABC$ гурвалжны хувьд $2\angle A+\angle B=\angle C$ ба $AB=49$, $AC=13$ бол $BC$ талын уртыг ол.
Хариу: 42
6.
$x,y\in\mathbb{R}$ ба $x>5, y>3$ бол $\frac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2-25}+\sqrt{y^2-9}}$ илэрхийллийн хамгийн бага утгыг ол.
Хариу: 16
7.
$\begin{cases}
a+b+c+d=0\\ ad-bc+2021=0
\end{cases}$ байдаг $a \geq b \geq c \geq d$ бүхэл тоон дөрвөлийн тоог ол.
a+b+c+d=0\\ ad-bc+2021=0
\end{cases}$ байдаг $a \geq b \geq c \geq d$ бүхэл тоон дөрвөлийн тоог ол.
Хариу: 44
8.
$p\mid q + 8$, $p\mid q^2 - 1$, $r\mid q^2 - 1$ ба $q + r= p^2 - 1$ байх $p,q,r$ анхны тоонууд бол $p+q+r$ -г ол. ($a\mid b$ гэдэг нь $b$ тоо $a$-д хуваагдана гэсэн үг.)
Хариу: 55
9.
Үргэлж худлаа ярьдаг ерэн найман алим, үргэлж үнэнийг хэлдэг нэг гадил жимсийг нэг мөрний дагуу санамсаргүй байдлаар байрлуулсан байв. Эхний жимс нь ''Эхний дөчин жимсний нэг нь гадил жимс юм!'' гэж хэлэв. Гэтэл сүүлийн жимс нь ''Үгүй ээ, сүүлийн дөчин жимсний нэг нь гадил жимс юм!'' гэж хариулав. Яг дунд нь байсан жимс нь ''Би гадил жимсний нэг нь байна!'' гэж хашгирч байна. Гадил хэдэн ялгаатай байрлалд байж болох вэ?
Хариу: 21
10.
Хэсэг цифрийг нь урдаас нь аваад хойно нь залгаж бичихэд буцаад өөрөө гардаг тоог гоё тоо гэе. 6 оронтой гоё тоо хэчнээн ширхэг байх вэ? (Хэсэг цифр гэдэгт нь 1-ээс 5 ширхэг цифр байж болно.)
Хариу: 981
11.
2020 тооны урд хамгийн цөөндөө хэдэн цифр залгаж 2021-д хуваагдах тоо үүсгэж болох вэ?
Хариу: 4
12.
$\begin{cases}
x^n+sx=2021 \\ x^n+tx=2022
\end{cases}$ систем тэгшитгэл бодит шийдтэй байх $(s,t)$ бүхэл тоон хос хэд байх вэ? (Энд $n>1$ бүхэл тоо )
x^n+sx=2021 \\ x^n+tx=2022
\end{cases}$ систем тэгшитгэл бодит шийдтэй байх $(s,t)$ бүхэл тоон хос хэд байх вэ? (Энд $n>1$ бүхэл тоо )
Хариу: 3
13.
$a\leq100000$, $b\leq100000$ ба $\dfrac{a^3-b}{a^3+b}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+b^2}$ нөхцөлийг хангах $(a,b)$ натурал тоон хэдэн хос хэдэн ширхэг байгаа вэ?
Хариу: 10
14.
$P(-10)=145$, $P(9)=164$ байх бүхэл коэффициенттэй олон гишүүнт бол $|P(0)|$-ийн хамгийн бага утгыг ол.
Хариу: 25
15.
$AC=AB$, $AC:BC=3:4$ байх $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн $BC$ нум дээр ($A$ оройг агуулаагүй нум) $P$ цэгийг $PB+PC=16$ байхаар авав. Тэгвэл $PA$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 12
16.
$CE=CD=7$ байх $CED$ гурвалжны $ED$ талын дундаж цэг $P$ байв. $P$-г дайруулан шулуун татахад $CE$ шулуунтай $A$ цэгт, $CD$ шулуунтай $B$ цэгт огтлолцож байв. $A$ цэгээс $CD$ шулуун хүртлэх зайг $h_a$-аар, $B$ цэгээс $CE$ шулуун хүртлэх зайг $h_b$-ээр тэмдэглэе. Хэрэв $ABC$ гурвалжны талбай $35$ байсан бол $h_a+h_b$ нийлбэрийг ол.
Хариу: 20