2021-2022 оны 1-р шат, Дунд 1 ангилал, D (7-8) ангилал
1.
Айлын тэмээний тоо ямааны тооны $\dfrac{2}{21}$, хонины тооны $\dfrac{3}{11}$, үхэрний тооны $\dfrac{5}{12}$, адууны тооны $\dfrac{1}{2}$ хэсэгтэй тэнцүү. Айл хамгийн цөөндөө хэдэн малтай байх вэ?
Хариу: 587
2.
Саравчинд 5 эльф, 5 одой, 1 хоббит сүүдэрлэж байжээ. Эльф бүр саравч дотор 7 танилтай, одой бүр саравч дотор 2 танилтай байсан бол хоббит хэдэн танилтай байсан бэ?
Хариу: 5
3.
$0-9$ цифрүүдийг нэг, нэг удаа ашиглан аливаа дараалсан 3 цифрийнх нь нийлбэр $15$-аас хэтрэхгүй 10 оронтой натурал тоо бичив. Ийм хамгийн бага тоог ол.
Хариу: 1257348069
4.
Цифр бүр нь өөртэйгөө тэнцүү удаа давтагддаг 5 оронтой тоо хэдэн ширхэг байх вэ? Жишээ нь $22333$ тоонд 2-ийн цифр 2 удаа, 3-ийн цифр 3 удаа орж байна.
Хариу: 16
5.
$x,y,z$ анхны тоонууд ба $x+4y^2=9z^2$ байв. $xyz$ үржвэрийн боломжит хамгийн бага утгыг ол.
Хариу: 1015
6.
$\overline{24x68y}$ тоо $48$-д хуваагддаг байх бүх $\overline{xy}$ тоонуудын нийлбэрийг ол.
Хариу: 196
7.
$ABCD$ параллелограммын $BD$ диагонал дээр $K$ цэг авав. $AK$ шулуун $CD$ шулууныг $M$ цэгт, $BC$ шулууныг $L$ цэгт огтолно. Хэрэв $KM=4$, $LM=32$ бол $AK$-ын уртыг ол.
Хариу: 12
8.
$ABC$ гурвалжны $A$ оройгоос буусан өндрийн суурь $H$, $BC$ талын дундаж $M$. Хэрэв $AB=2HM$ ба $\angle C=31^\circ$ бол $\angle BAH$-ийг ол.
Хариу: 28
9.
Алимаа тус бүр нь 3 кг, 5 кг, 8 кг даацтай 3 тортой. Нэг торонд зөвхөн нэг төрлийн ногоо хийж болно. Дэлгүүрт 1500 төг, 2100 төг, 2900 төг үнэтэй 3 төрлийн хүнсний ногоо зарж байв. Алимаа 3 төрлийн ногоо худалдан авч 3 тороо дүүргээд төлбөрөө дан 5000-тын дэвсгэртүүдээр хийхэд худалдагч түүнд 2000 төгрөг хариулж өгөв. Алимаагийн худалдан авсан ногоо ямар үнэтэй болсон бэ?
Хариу: 33000
10.
1-ээс 9 цифр тус бүр нэг удаа орсон 9 оронтой бүх тоонуудыг авч үзье. Эдгээр тоонууд дотор 1-ээс 5 хүртэлх цифрүүдийн аль ч хоёрын хувьд их нь хойноо, бага нь урдаа ордог, харин 6 цифр 1-ээс 5 цифрүүдийнхээ өмнө орсон тоо хэчнээн ширхэг байх вэ?
Хариу: 504
11.
$0,1,2,3$ цифрүүд ашиглан 6-д хуваагддаг 6 оронтой хэчнээн тоо зохиож болох вэ?
Хариу: 512
12.
$a,b,c$ эерэг тоонуудын хувьд $1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{16}{c}\leqslant\dfrac{64}{1+a+b+c}$ тэнцэтгэл биш биелдэг бол $a+b+c$ нийлбэрийг ол.
Хариу: 7
13.
$2^n$ нь $2021^{2^{58}}-1$ тоог хуваадаг байх хамгийн их $n$ натурал тоог ол.
Хариу: 60
14.
$n$ натурал тоо бол $n^2-20n-21$ тоо ямар натурал тооны квадрат болж чадах вэ?
Хариу: 60
15.
$ABC$ гурвалжны $A$ өнцгийн дотоод биссектрис $BC$ талыг $D$ цэгт огтолно. $AD$ хэрчмийн дундаж цэгт татсан перпендикуляр шулуун $AC$ талыг $E$ цэгт, $AB$ талыг $F$ цэгт огтолно. Хэрэв $CE=16$ $FB=9$ бол $AE$ хэрчмийн уртыг ол.
Хариу: 12
16.
$ABCD$ тэгш өнцөгтийн $AB$ тал дээр $K$ цэгийг, $AC$ диагонал дээр $L$ цэгийг $\angle KLD=90^\circ$ байхаар авав. $L$ цэгээс $AB$ талруу буусан перпендикулярын суурийг $M$ гэе. Хэрэв $\angle ADK=\angle CDL$, $AC=45$, $ML=20$ байсан бол $AD$ талын уртыг ол.
Хариу: 30