1. Бодлого 1

Дүгнэх аргачлал:

1. $\dfrac{(a+1)^3}{(a^2+b+3)}$ бүхэл гэж гаргавал $2$ оноо.

2. $\dfrac{(a+1)^2}{(a^2+b+3)}$ бүхэл гэж гаргавал $4$ оноо.

3. $n=2$ үед $(a,b)=(2,2)$ жишээ болно гэхэд $1$ оноо.

2. Бодлого 2

Дүгнэх аргачлал:

1. $n$ өнгөлөг биш тоо төгсгөлөг гэж баталсан бол $3$ оноо.

2. $n^2-n-1$ хамгийн их $n$ өнгөлөг тоо $1$ оноо.

3. $n^2-n-1$ хамгийн их $n$ өнгөлөг тоо байхыг харуулсан бол $3$ оноо.

3. Бодлого 3

Дүгнэх аргачлал:

1. 1-р бодолтын дагуу $DL$ $L_D$ нь $\omega$, $\gamma_0$-ийн радикал тэнхлэг дээр оршино гэж баталбал $3$ оноо.

2. 2-р бодолтын хувьд $X_B$, $X_D$, $K$ нэг шулуун дээр гэж баталбал $4$ оноо.
$BT_B\parallel DT_D$ гэж баталбал $3$ оноо.

Бүтэн бодолт 7 оноо.

4. Бодлого 4

Дүгнэх аргачлал:

I. $RB\cap AD=S$ гэе.

1. $QRSA$ тойрогт багтана гэж харуулбал 1 оноо.

2. $OCRS$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.

3. $AQ$, $DC$, $RS$ шулуунууд нь $(ADCQ)$, $(QRSA)$, $(DCRS)$ тойргуудын радикал тэнхлэг гэж баталбал 3 оноо.

Бүтэн бодолт 7 оноо.


II. $AQ\cap DC=T$ гэе.

1. $QRTC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 1 оноо.

2. $ABRC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.

3. $B$, $R$, $T$ цэгүүд 1 шулуун дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо.

4. Мөн $AQ\cap DC=T$ ба $BR\cap AQ=T'$ гээд $T\equiv T'$ гэж баталбал 3 оноо.

Бүтэн бодолт 7 оноо.

III. $\omega(APRQ)\cap BR=E$ гэе.

1. $ABRC$ дөрвөн өнцөгт тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.

2. $E, A, D$ цэгүүд 1 шулуун дээр оршино гэж харуулбал 2 оноо.

3. $\omega(ERCD)$, $\omega(ERQA)$, $\omega(QACD)$ тойргуудын радикал тэнхлэгүүд $ER$, $AQ$, $CD$ гэж харуулбал 3 оноо.


Бүтэн бодолт 7 оноо.

5. Бодлого 5

Дүгнэх аргачлал:

1. $d_1=1$ гэж харуулбал 1 оноо.

2. $d_2=3$ гэж харуулбал 1 оноо.

3. $d_3=5$ гэж харуулбал 1 оноо.

5. $d_i=2i-1$, $i=1,2,\dots,k$ гэсэн үед зөв баталсан бол харуулбал 3 оноо.

Бүтэн бодолт 7 оноо.

6. Бодлого 6

Дүгнэх аргачлал:

$1 \le k \le n$ хувьд $s_{k} = a_{1} + \dots + a_{k}$ гэе.

Жижиг үр дүн гаргасан: Энэ хэсгээс хамгийн ихдээ 2 оноо авах боломжтой. Доорх оноонуудыг нэмэхгүй.

A1. $a_{1} = \dots = a_{n} = \dfrac{1}{n}$ үед нийлбэрийг зөв тооцоолж, тэнцэтгэл бишийг батлахад $1$ оноо.

A2. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_{k}s_{k-1} \le \dfrac{n-1}{2n}$ гэж батлахад $1$ оноо.

A3. $\displaystyle\sum_{k=2}^{n}a_{k}s_{k-1}^{2} < \dfrac{1}{3}$ гэж батлахад $2$ оноо.


Том үр дүн гаргасан: Бүтэн бодолт $7$ оноо. Доорх оноонуудыг нэмэхгүй.

B1. $\dfrac{a_{k}}{1-a_{k}} s_{k-1}^{2} \le \dfrac{s_{k}^{3} - s_{k-1}^{3}}{3}$ гэж батлахад $5$ оноо.

B2. Ямар ч $1 \le k \le n$ хувьд $a_{k} \to \dfrac{a_{k}}{2}, \dfrac{a_{k}}{2}$ гэж задлахад нийлбэр өснө гэж батлахад $5$ оноо.