ММО-58, Улс, Дунд ангилал, E (9-10) ангилал

1. ABCABC гурвалжны ACAC тал дээр FF цэг авав. FF цэгийг дайруулан ABAB талтай параллел шулуун татахад BCBC талыг DD цэгт огтолно. Мөн FF цэгийг дайруулан BCBC талтай параллел шулуун татахад ABAB талыг EE цэгт огтолно. EDFEDF гурвалжныг багтаасан тойрог ACAC талыг шүргэж байв. AB:BC=kAB:BC=k бол AF:FC=k2AF:FC=k2 гэж батал.

2. aa+1+aa+2+aa+3+aa+4aa+1+aa+2+aa+3+aa+4 илэрхийлэл бүхэл тоо байх эерэг рационал aa тоо олдох уу?

3. Математикийн олимпиадад 6666 сурагч оролцов. Бие биеэ таньдаг хоёр сурагчийг танил гэе.

Сурагч бүр ядаж нэг танилтай ба сурагч бүрийн хувьд түүний танилуудын танилын тооны арифметик дундаж ба өөрийнх нь танилын тоо нийлээд 1111 байсан бол нэг танхимд танил хоёр сурагч ороогүй байхаар сурагчдыг хоёр танхимд хуваан суулгаж чадна гэж батал.

4. Тойргийг нэгж урттай 2121 ширхэг тэнцүү нумд хуваадаг 2121 цэг тойрог дээр байрлуулав. Аль ч хоёр цэгийн хоорондох нумын урт нь 33 нэгж эсвэл 77 нэгжтэй тэнцдэггүй байхаар 77 цэгийг хэдэн янзаар сонгон авч болох вэ?

5. ABCABC гурвалжны ABAB тал дээр DD цэгийг, ACAC тал дээр EE цэгийг BCEDBCED дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байхаар авав. ADCADC гурвалжныг багтаасан тойрог BEBE хэрчимтэй FF цэгт, ABEABE гурвалжныг багтаасан тойрог CDCD хэрчимтэй GG цэгт огтлолцоно. BGBG, CFCF хэрчмүүд SS цэгт огтлолцох бол FAS=GASFAS=GAS гэж батал.

6. 1a1a, bb, c1c1 тоонуудын хувьд a2+b2+c2=2abc+1a2+b2+c2=2abc+1 бол
32abc12a2+12b2+12c21+22abc32abc12a2+12b2+12c21+22abc
гэж батал.