ММО-58, Улс, Дунд ангилал, E (9-10) ангилал

1. ABC гурвалжны AC тал дээр F цэг авав. F цэгийг дайруулан AB талтай параллел шулуун татахад BC талыг D цэгт огтолно. Мөн F цэгийг дайруулан BC талтай параллел шулуун татахад AB талыг E цэгт огтолно. EDF гурвалжныг багтаасан тойрог AC талыг шүргэж байв. AB:BC=k бол AF:FC=k2 гэж батал.

2. aa+1+aa+2+aa+3+aa+4 илэрхийлэл бүхэл тоо байх эерэг рационал a тоо олдох уу?

3. Математикийн олимпиадад 66 сурагч оролцов. Бие биеэ таньдаг хоёр сурагчийг танил гэе.

Сурагч бүр ядаж нэг танилтай ба сурагч бүрийн хувьд түүний танилуудын танилын тооны арифметик дундаж ба өөрийнх нь танилын тоо нийлээд 11 байсан бол нэг танхимд танил хоёр сурагч ороогүй байхаар сурагчдыг хоёр танхимд хуваан суулгаж чадна гэж батал.

4. Тойргийг нэгж урттай 21 ширхэг тэнцүү нумд хуваадаг 21 цэг тойрог дээр байрлуулав. Аль ч хоёр цэгийн хоорондох нумын урт нь 3 нэгж эсвэл 7 нэгжтэй тэнцдэггүй байхаар 7 цэгийг хэдэн янзаар сонгон авч болох вэ?

5. ABC гурвалжны AB тал дээр D цэгийг, AC тал дээр E цэгийг BCED дөрвөн өнцөгт тойрогт багтаж байхаар авав. ADC гурвалжныг багтаасан тойрог BE хэрчимтэй F цэгт, ABE гурвалжныг багтаасан тойрог CD хэрчимтэй G цэгт огтлолцоно. BG, CF хэрчмүүд S цэгт огтлолцох бол FAS=GAS гэж батал.

6. 1a, b, c1 тоонуудын хувьд a2+b2+c2=2abc+1 бол
32abc12a2+12b2+12c21+22abc
гэж батал.