1. $\Gamma$, $\omega$ тойргууд $C$, $D$ цэгүүдэд огтлолцоно. Мөн $\omega$ тойргийн төв $P$ цэг $\Gamma$ тойрог дээр оршино. $D$ цэгийг дайрсан шулуун $\Gamma$ тойрогтой $A$ цэгт, $\omega$ тойрогтой $B$ цэгт огтлолцох ба $D$ цэг $AB$ хэрчим дотор оршиж байв. $PB$ шулуун $\Gamma$ тойрогтой $P$ цэгээс ялгаатай $E$ цэгт огтлолцоно. $AE=AB$ гэж батал.

2. $p < q < r$ байх анхны тоонууд өгөгдөв. Натурал $n\ge 1$ тоо бүрийн хувьд $p + n$, $q + n$, $r+ n$ нийлбэрүүдийн ядаж хоёр нь харилцан анхны байдаг бол $p$, $q$ тоонуудыг ол.

3. Натурал $n$ тоог $m \ge 2$ ширхэг ялгаатай $a_{1} > a_{2} > \dots > a_{m}$ натурал тоонуудын $n = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{m}$ нийлбэрт
\[
\frac{1}{a_{1}} +\frac{1}{a_{2}} + \dots+\frac{1}{a_{m}} =1
\]
байхаар задалж болдог бол $n + 2m + 1\leq a_{1} a_{2}$ болохыг харуулж, тэнцэл биелэх нөхцөлийг ол.

4. $n$, $m$, $k$ бүхэл тоонууд байг. $\dfrac{mk+n}{n^2+1}$ ба $\dfrac{nk+m}{m^2+1}$ тоонууд бүхэл
бол $n^2+1$ ба $m^2+1$ тоонуудын хамгийн их ерөнхий хуваагч $k^2-1$ тоог хуваахыг харуул.

5. $\angle DAB=\angle ABC$ байх $ABCD$ дөрвөн өнцөгт өгөгдөв. $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойрог $AD$ хэрчимтэй $K$ цэгт, $CD$ хэрчимтэй $L$ цэгт огтлолцоно. $AL$ хэрчим $CK$ хэрчимтэй $P$ цэгт огтлолцоно. Хэрэв $\angle ADB=\angle PDC$ байсан бол $CP=CL$ гэж батал.

6. Төгсгөлөг ширхэг натурал тооноос тогтох $X$ олонлогийн бүх боломжит хоосон биш дэд $A \subseteq X$ олонлогийн хувьд $\Sigma A = \sum_{a \in A} a$ нийлбэр ялгаатай утга авдаг, өөрөөр хэлбэл $A \ne B \subseteq X$ бол $\Sigma A \ne \Sigma B$ байдаг, гэе. $X$ олонлогийн гишүүдийн урвуунуудын нийлбэр
\begin{equation}
\sum_{x \in X} \dfrac{1}{x} < \dfrac{5}{2}
\end{equation}
гэж харуул. Жишээлбэл, $X = \Set{1, 2, 5}$ үед $1$, $2$, $5$, $1+2$, $1+5$, $2+5$, $1+2+5$ нийлбэрүүд бүгд ялгаатай ба $1/1 + 1/2 + 1/5 = 1.7 < 2.5$ үнэн.