1. Бодлого 1

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1. $X$-г $Y$-рүү, $Y$-г $Z$-рүү, $Z$-г $X$-рүү буулгах эргүүлэлт авч үзсэн бол, эсвэл $XYZ$-ийн төв $ABC$-ийн төвтэй давхацна гэж харуулсан бол 3 оноо,
   


2. $XYZ$, $MNP$ гурвалжнууд тэнцүү гэж харуулбал 2 оноо.
   
   

2. Бодлого 2

$K$ цэгийг $A$ цэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувирган $K'$ гэж нэрлэе.

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1. $K'$ цэгийг байгуулбал 1 оноо,
   


2. $BK'=BD$ гэж баталбал 3 оноо,
   


3. $K'BHP$ тойрогт багтана гэж баталбал 3 оноо,
   


4. $CB=BD$ гэж баталбал 0 оноо.
   

3. Бодлого 3

$AD$ шулуун $(BDI_C)$ тойрог дахин $B'$ цэгт огтлолцдог гэе. $BI_CAA'$ параллелограм байх $A'$ цэгийг байгуулъя.

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1. $APQ$ өнцгийг тооцоолбол 2 оноо,
   


2. $\angle BDQ=90^\circ-\angle IDA$ гэж баталбал 3 оноо,
   


3. $B'$ цэгийг байгуулаад $BPB'I_C$-г тэгш өнцөгт гэж харуулбал 1 оноо,
   


4. $A'$ цэгийг байгуулаад бодолтоо гүйцээвэл 2 оноо.
   

4. Бодлого 4

$RD\cap (BPD)=\{U,D\}$, $QD\cap (CPD)=\{V,D\}$, $PE\cap AB=F'$, $PF\cap AC=E'$ гэе.

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1. $P, U, V$ цэгүүд нэг шулуун дээр орших ба $UV\perp AP$ гэж баталбал 2 оноо,
   


2. $D, R, F'$ цэгүүд нэг шулуун дээр орших ба $D, Q, E'$ цэгүүд нэг шулуун дээр оршино гэж харуулбал 3 оноо,
   


3. $APMB$ тойрогт багтана гэж харуулбал 2 оноо.
   

5. Бодлого 5

Лемм 2. $\omega$ тойрог дээр $A, C$ цэгүүд авав. $\lambda$, $k$-аас хамааруулан $\omega$ дээр $M$ цэгийг, $AC$ тал дээр $T$ цэгийг, $\dfrac{CT}{AT}+\lambda \dfrac{CM}{AM}=k$ байхаар авав. Тэгвэл $(CMT)$ тойрог тогтмол цэгийг дайрна.

Бүтэн бодолт 8 оноо,

Хэсэгчилсэн оноог дараах байдлаар өгнө.

1. Лемм 2 ийг баталбал 2 оноо,
   


2. $\dfrac{ST}{AT}$-г тооцоолбол 3 оноо,
   


3. $\dfrac{CM}{AM}$-г тооцоолбол 3 оноо,